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$\operatorname{Re}(z)\,\bar{z}=4+6 i$
Como el $z$ que estamos buscando es de la forma $z = a+bi$, nos queda...
$a(a-bi)=4+6 i$
Ahora hacemos distributiva del lado izquierdo...
$a^2 - abi = 4+6 i$
$a^2 - abi - 4 - 6i = 0$
Agrupamos parte real y parte imaginaria del lado izquierdo...
$(a^2-4) + (-ab-6)i = 0$
Para que un número complejo sea igual a cero, tanto su parte real como su parte imaginaria deben ser cero, así que nos queda este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $a$ y $b$
$\begin{cases} a^2-4 = 0 \\ -ab-6 = 0 \end{cases}$
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3.
Dar la forma binómica de todos los números complejos $z$ que satisfacen
b) $\operatorname{Re}(z)\,\bar{z}=4+6 i$
b) $\operatorname{Re}(z)\,\bar{z}=4+6 i$
Respuesta
La ecuación que tenemos que resolver es esta:
De la primera ecuación obtenemos dos valores posibles para $a$, $a = 2$ y $a = -2$ -> Para cada caso, analicemos qué valor obtenemos de $b$ al reemplazar en la segunda ecuación
-> Con $a = 2$, al reemplazar en la segunda ecuación obtenemos $b = -3$
-> Con $a = -2$, al reemplazar en la segunda ecuación obtenemos $b = 3$
Por lo tanto, hay dos números complejos $z = a +bi$ que son solución de esta ecuación:
Solución 1 -> Con $a = 2$ y $b = -3$ -> $z_1 = 2 -3i$
Solución 2 -> Con $a = -2$ y $b = 3$ -> $z_2 = -2+3i$
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